Számrendszerek

A számrendszer a számok különböző számjelekkel történő ábrázolására vonatkozó szabályok összessége. A számrendszereket két típusra osztják: nem pozicionális és pozíciós.

Helyzetszámrendszerekben az egyes számjegyek értéke nem függ az elfoglalt pozíciótól, vagyis attól, hogy milyen helyet foglal el a számjegykészletben. A római számrendszerben csak hét számjegy van: egy (I), öt (V), tíz (X), ötven (L), száz (C), ötszáz (D), ezer (M). Ezen számok (szimbólumok) felhasználásával a fennmaradó számokat összeadás és kivonás útján írjuk fel. Például IV a 4-es szám jelölése (V — I), VI a 6-os szám (V + I), és így tovább. A 666-os számot a római rendszerben így írják: DCLXVI.

Ez a jelölés kevésbé kényelmes, mint a jelenleg használt. Itt hat van egy szimbólummal (VI), hat tízes egy másikkal (LX), hatszáz és harmadik (DC). A római számrendszerben írt számokkal nagyon nehéz számtani műveleteket végrehajtani. A nem pozicionális rendszerek általános hátránya továbbá, hogy elég nagy számokat ábrázolnak bennük ahhoz, hogy rendkívül körülményes jelölést eredményezzenek.

Most tekintsük ugyanazt a 666-os számot a helyzetszámrendszerben. Ebben az egyetlen 6-os jel az egyesek számát jelenti, ha az utolsó helyen van, a tízeseket, ha az utolsó előtti helyen van, és a százast, ha a végétől a harmadik helyen van. Ezt a számírási elvet pozicionálisnak (lokálisnak) nevezzük. Egy ilyen felvételen minden számjegy számértéket kap, nem csak a stílusától, hanem attól is, hogy hol áll a szám írásakor.

A helyzetszámrendszerben bármely szám, amelyet A = +a1a2a3 … ann-1an jellemez, összegként ábrázolható

ahol n – véges számú számjegy egy szám képében, ii szám i-go számjegy, d – a számrendszer alapja, i – a kategória sorszáma, dm-i – az i-ro kategória "súlya" . Az ai számjegyeknek ki kell elégíteniük a 0 <= a <= (d — 1) egyenlőtlenséget.

Tizedes jelölés esetén d = 10 és ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Mivel az egyesekből és nullákból álló számok együtt használva decimális vagy bináris számként is felfoghatók, a számrendszer alapját általában feltüntetik, például (1100)2-bináris, (1100)10-tizedes.

A digitális számítógépekben a decimálison kívüli rendszereket is széles körben alkalmazzák: bináris, oktális és hexadecimális.

Kettes számrendszer

Ennél a rendszernél d = 2 és itt csak két számjegy megengedett, azaz ai = 0 vagy 1.

A bináris rendszerben kifejezett bármely szám az adott bit bináris számjegyének bázis hatványának kétszeresének szorzataként jelenik meg. Például a 101.01 szám így írható fel: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, ami a decimális rendszerben szereplő számnak felel meg: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

A legtöbb modern digitális számítógépben a bináris számrendszert használják számok ábrázolására egy gépen, és számtani műveleteket hajtanak végre rajtuk.

A kettes számrendszer a decimálishoz képest lehetővé teszi az aritmetikai eszköz és a memóriaeszköz áramköreinek, áramköreinek egyszerűsítését, a számítógép megbízhatóságának növelését. A bináris szám minden egyes bitjének számjegyét az olyan elemek „be/ki” állapotai jelentik, mint a tranzisztorok, diódák, amelyek megbízhatóan működnek „be/ki” állapotban. A bináris rendszer hátrányai közé tartozik, hogy az eredeti digitális adatokat egy speciális program szerint kell bináris számrendszerbe fordítani, a döntés eredményét pedig decimálisra kell fordítani.

Oktális számrendszer

Ennek a rendszernek az alapja d == 8. A számok a számok jelölésére szolgálnak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Az oktális számrendszert a számítógépben segédeszközként alkalmazzák a problémák megoldásra való előkészítésében (a programozási folyamatban), a gép működésének ellenőrzésében, valamint a program hibakeresésében. Ez a rendszer rövidebb ábrázolást ad a számról, mint a bináris rendszer. Az oktális számrendszer lehetővé teszi, hogy egyszerűen átváltson a bináris rendszerre.

Hexadecimális számrendszer

Ennek a rendszernek az alapja d = 16. 16 karaktert használnak a számok jelölésére: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F és a Az A … F karakterek a 10, 11, 12, 13, 14 és 15 decimális számokat jelölik. A hexadecimális szám (1D4F) 18 a 7503 decimális számnak felel meg, mert (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 160 = (7503)10

A hexadecimális jelölés lehetővé teszi a bináris számok tömörebb írását, mint az oktális. Alkalmazást talál egyes számítógépek bemeneti és kimeneti eszközeiben, valamint számsorrend megjelenítő eszközeiben.

Bináris-tizedes számrendszer

A számok ábrázolása bináris-tizedes rendszerben a következő. A szám decimális jelölését vesszük alapul, majd minden egyes számjegyét (0-tól 9-ig) négyjegyű bináris szám formájában írjuk fel, amelyet tetradnak nevezünk, vagyis nem egy jelet használunk annak ábrázolására. a decimális rendszer minden számjegye, de négy.

Például a decimális 647,59 a BCD 0110 0100 0111, 0101 1001 számoknak felel meg.

A bináris-tizedes számrendszert köztes számrendszerként, valamint bemeneti és kimeneti számok kódolására használják.

Az egyik számrendszer másikba való átvitelének szabályai

A számítógépes eszközök közötti információcsere főként a kettes számrendszerben ábrázolt számokon keresztül történik. Az információ azonban számokban jelenik meg a felhasználó számára a decimális rendszerben, a parancscímzés pedig az oktális rendszerben. Ezért szükséges a számok átvitele egyik rendszerről a másikra a számítógéppel végzett munka során. Ehhez használja a következő általános szabályt.

Egy egész szám bármely számrendszerből egy másikba való konvertálásához ezt a számot egymás után el kell osztani az új rendszer alapjával, amíg a hányados nem lesz kisebb, mint az osztó. A számot az új rendszerben osztási maradékok formájában kell írni, az utolsóval kezdve, vagyis jobbról balra.

Például alakítsuk át a decimális 1987-et binárissá:

Az 1987 decimális szám bináris formátumban 11111000011, azaz. (1987)10 = (11111000011)2

Bármely rendszerről decimálisra váltva a számot a bázis hatványainak összegeként ábrázoljuk a megfelelő együtthatókkal, majd kiszámítjuk az összeg értékét.

Például alakítsuk át a 123-as oktális számot decimálissá: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, azaz. (123)8 = (83)10

Egy szám tört részének bármely rendszerből egy másikba történő átviteléhez ezt a tört és a kapott törtrészek szorzatát kell végrehajtani az új számrendszer alapján. A szám tört része az új rendszerben a kapott termékek egész részei formájában jön létre, az elsőtől kezdve. A szorzási folyamat addig folytatódik, amíg egy adott pontosságú számot ki nem számítanak.

Például alakítsuk át a 0,65625 tizedes törtet kettes számrendszerré:

Mivel az ötödik szorzat tört része csak nullákból áll, nincs szükség további szorzásra. Ez azt jelenti, hogy az adott decimális hiba nélkül binárissá alakul, azaz. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Nem nehéz átkonvertálni oktális és hexadecimális értékről binárisra és fordítva. Ennek az az oka, hogy bázisaik (d — 8 és d — 16) kettős egész számoknak felelnek meg (23 = 8 és 24 = 16).

Az oktális vagy hexadecimális számok binárissá alakításához elegendő mindegyik számot lecserélni egy három-, illetve négyjegyű bináris számra.

Például fordítsuk le az oktális számot (571)8 és a hexadecimális számot (179)16 kettes számrendszerre.

Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kapjuk, pl. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Ha egy számot bináris decimálisról decimálisra szeretne konvertálni, a bináris decimális formában ábrázolt szám minden tetradját le kell cserélnie egy decimális számjegyre.

Például írjuk fel a (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 számot decimális jelöléssel, pl. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)