A Biot-Savart törvény és a mágneses indukciós vektor keringésének tétele

Jean-Baptiste Biot és Félix Savard francia tudósok 1820-ban az egyenáramok mágneses mezőinek tanulmányozására irányuló közös kísérletek során egyértelműen megállapították, hogy a vezetőn átfolyó egyenáram mágneses indukciója a vezetőn átfolyó egyenáram mágneses indukciójának tekinthető a vezeték összes szakaszának általános hatása árammal. Ez azt jelenti, hogy a mágneses tér a szuperpozíció elvének (a mezők szuperpozíciójának elve) engedelmeskedik.

Az egyenáramú vezetékek csoportja által létrehozott mágneses tér a következőkkel rendelkezik mágneses indukcióhogy értékét az egyes vezetők által külön-külön létrehozott mágneses indukciók vektorösszegeként határozzuk meg. Vagyis az egyenáramú vezető B indukciója tisztességesen ábrázolható a vizsgált I egyenáramú vezető dl elemi szakaszaihoz tartozó dB elemi indukciók vektorösszegével.

Gyakorlatilag irreális egy egyenáramú vezető elemi szakaszának leválasztása, mert D.C. mindig zárva.De mérhető a vezeték által létrehozott teljes mágneses indukció, vagyis az adott vezeték összes elemi része által generált mágneses indukció.

Így a Biot-Sovar törvénye lehetővé teszi, hogy megtalálja a vezető szakaszának (ismert hosszúságú dl) mágneses indukciójának B értékét adott I egyenárammal, bizonyos r távolságban a vezető ettől a szakaszától és egy bizonyos megfigyelési irány a kiválasztott szakaszból (az áram iránya és a vezeték szakaszától a vizsgált pontig tartó szög szinuszán keresztül beállítva a vezető közelében lévő térben):

Kísérletileg megállapítottuk, hogy a mágneses indukciós vektor iránya könnyen meghatározható a jobb oldali csavar vagy kardán szabállyal: ha a gimbal transzlációs mozgásának iránya forgása során egybeesik a vezetékben lévő I egyenáram irányával, akkor a kardánfogantyú forgásiránya meghatározza az adott áram által keltett B mágneses indukciós vektor irányát.

Egy egyenes áramot vezető vezeték mágneses tere, valamint a Bio-Savart törvény rá való alkalmazásának illusztrációja az ábrán látható:

Tehát, ha integráljuk, azaz összeadjuk egy állandó áramú vezető minden kis szakaszának hozzájárulását a teljes mágneses térhez, akkor egy képletet kapunk, amellyel egy adott R sugarú áramvezető mágneses indukcióját megtalálhatjuk belőle. .

Ugyanígy, a Bio-Savard törvényét használva kiszámolhatja a mágneses indukciókat különböző konfigurációjú egyenáramokból és a tér bizonyos pontjain, például egy körkörös áramkör közepén lévő mágneses indukciót egy árammal megtalálja a következő képlet:

A mágneses indukciós vektor iránya a kardánszabály szerint könnyen megtalálható, csak most a kardángyűrűt a zárt áram irányába kell forgatni, és a gimbal előrefelé mozgása megmutatja a mágneses indukciós vektor irányát.

A mágneses térrel kapcsolatos számítások gyakran leegyszerűsíthetők, ha figyelembe vesszük az áramok konfigurációjának a generáló tér által adott szimmetriáját. Itt használható a mágneses indukciós vektor keringésének tétele (mint a Gauss-tétel az elektrosztatikában). Mi a "mágneses indukciós vektor keringése"?

Válasszunk a térben egy tetszőleges alakú zárt hurkot, és feltételesen jelöljük meg a mozgásának pozitív irányát, ennek a huroknak minden pontjára megtalálhatjuk a B mágneses indukciós vektor vetületét a hurok érintésére abban a pontban. Ekkor ezeknek a mennyiségeknek a szorzata a kontúr összes szakaszának elemi hosszával a B mágneses indukciós vektor keringése ezen a körvonalon:

Gyakorlatilag az összes áram, amely itt általános mágneses teret hoz létre, vagy áthatol a vizsgált áramkörön, vagy néhányuk kívül is lehet. A keringési tétel szerint: az egyenáramok B mágneses indukciós vektorának cirkulációja zárt hurokban számszerűen megegyezik a hurkon áthatoló összes egyenáram összegével a mu0 mágneses állandó szorzatával. Ezt a tételt Andre Marie Ampere fogalmazta meg 1826-ban:

Tekintsük a fenti ábrát. Itt az I1 és I2 áramok behatolnak az áramkörbe, de különböző irányokba irányulnak, ami azt jelenti, hogy feltételesen eltérő előjelekkel rendelkeznek.A pozitív előjelnek olyan árama lesz, amelynek a mágneses indukció iránya (az alapszabály szerint) egybeesik a kiválasztott áramkör bypassának irányával. Ebben a helyzetben a cirkulációs tétel a következőképpen alakul:

Általánosságban elmondható, hogy a B mágneses indukciós vektor keringésére vonatkozó tétel a mágneses tér szuperpozíciós elvéből és a Biot-Savard törvényből következik.

Például levezetjük az egyenáramú vezető mágneses indukciójának képletét. Válasszunk egy kör alakú kontúrt, amelynek középpontján áthalad ez a huzal, és a huzal merőleges a kontúr síkjára.

Így a kör középpontja közvetlenül a vezető középpontjában, vagyis a vezetőben van. Mivel a kép szimmetrikus, a B vektor érintőlegesen irányul a körre, ezért vetülete az érintőre mindenhol azonos, és egyenlő a B vektor hosszával. A cirkulációs tételt a következőképpen írjuk fel:

Ezért az egyenes vezető egyenáramú mágneses indukciójának képlete következik (ezt a képletet fentebb már megadtuk). Hasonlóképpen, a cirkulációs tétel segítségével könnyen megtalálhatjuk a szimmetrikus egyenáramú konfigurációk mágneses indukcióit, ahol a térvonalak képe könnyen megjeleníthető.

A cirkulációs tétel alkalmazásának egyik gyakorlatilag fontos példája a mágneses tér megtalálása egy toroid induktor belsejében.

Tegyük fel, hogy van egy toroid tekercs, amely egy fánk alakú kartonkeretre körbe van tekerve, N fordulatszámmal. Ebben a konfigurációban a mágneses indukciós vonalak a fánk belsejében vannak, és koncentrikus (egymáson belüli) kör alakúak. .

Ha a mágneses indukciós vektor irányába nézünk a fánk belső tengelye mentén, akkor kiderül, hogy az áram mindenhol az óramutató járásával megegyező irányban (a gimbal szabály szerint) irányul. Tekintsük a mágneses indukció egyik vonalát (pirossal) a tekercsen belül, és válasszuk ki r sugarú körhuroknak. Ekkor egy adott áramkör cirkulációs tételét a következőképpen írjuk fel:

És a tekercsen belüli mező mágneses indukciója egyenlő lesz:

Vékony toroid tekercs esetén, ahol a mágneses tér szinte egyenletes a teljes keresztmetszetén, a mágneses indukció kifejezése úgy írható fel, mintha egy végtelen hosszú mágnestekercsre vonatkozna, figyelembe véve az egységnyi hosszonkénti fordulatok számát. n :

Tekintsünk most egy végtelenül hosszú mágnesszelepet, ahol a mágneses tér teljes egészében belül van. A keringési tételt alkalmazzuk a kiválasztott téglalap kontúrra.

Itt a mágneses indukciós vektor csak a 2. oldalon ad nullától eltérő vetületet (hossza egyenlő L). Az n — «az egységnyi hosszonkénti fordulatok száma» paramétert használva a cirkulációs tételnek egy ilyen formáját kapjuk, amely végül ugyanarra a formára redukálódik, mint egy multitonCoy toroid tekercs esetében: