Miért használnak komplex számokat a számításokhoz az AC áramkörökben?

Mint tudják, a komplex számokat az elektrotechnika néhány tipikus problémájának megoldására használják. De mire használják és miért teszik ezt így? Ezt próbáljuk megérteni a cikk során. A helyzet az, hogy a komplex módszer vagy az összetett amplitúdók módszere kényelmes az összetett AC áramkörök kiszámításához. És kezdésként emlékezzünk meg a matematika néhány alapvetéséről:

Amint látható, a z komplex szám magában foglalja a képzetes részt és a valós részt, amelyek különböznek egymástól, és a szövegben másképp jelölik. Maga a z komplex szám felírható algebrai, trigonometrikus vagy exponenciális formában:

Történelmi háttér

Úgy tartják, hogy a képzeletbeli számok ötlete 1545-ben kezdődött, amikor Girolamo Cardano olasz matematikus, mérnök, filozófus, orvos és asztrológus közzétette ezt az egyenletmegoldási módszert "A nagy művészet" című értekezésében, ahol többek között , elismerte, hogy Niccolò adta neki az ötletet Tartaglia-nak (olasz matematikus) 6 évvel a mű megjelenése előtt. Munkájában Kradano a következő alakú egyenleteket oldja meg:

Ezen egyenletek megoldása során a tudós kénytelen volt beismerni egy „nem valós” szám létezését, amelynek négyzete mínusz egy „-1” lesz, vagyis mintha lenne egy négyzetgyöke negatív szám, és ha most négyzetbe kerül, akkor a gyök alatti megfelelő negatív szám lesz. Cardano kimondta a szorzás szabályát, amely szerint:

A matematikai közösség három évszázadon keresztül hozzászokott a Cardano által javasolt új megközelítéshez. A képzeletbeli számok fokozatosan gyökeret vernek, de a matematikusok nem szívesen fogadják el. Egészen addig, amíg Gauss algebrai munkái megjelentek, ahol bebizonyította az algebra alaptételét, hogy a komplex számokat végre teljes mértékben elfogadták, elérkezett a 19. század.

A képzeletbeli számok valóságos mentővé váltak a matematikusok számára, mert a képzeletbeli számok létezésének elfogadásával a legbonyolultabb problémákat sokkal könnyebben megoldották.

Így hamar eljött az elektrotechnika. A váltakozó áramú áramkörök néha nagyon összetettek voltak, és sok integrált kellett kiszámítani a kiszámításukhoz, ami gyakran nagyon kényelmetlen volt.

Végül, 1893-ban Carl August Steinmetz briliáns villamosmérnök Chicagóban, a Nemzetközi Elektrotechnikai Kongresszuson felszólalt a „Komplex számok és alkalmazásuk az elektrotechnikában” című jelentésével, amely tulajdonképpen a kezdetét jelentette a komplex módszer mérnökök általi gyakorlati alkalmazásának. elektromos áramkörök kiszámítása váltakozó áramhoz.

Ezt tudjuk a fizika tantárgyból váltakozó áram — ez egy olyan áram, amely idővel mind nagyságrendben, mind irányban változik.

A technikában a váltakozó áramnak különböző formái léteznek, de manapság a legelterjedtebb a szinuszos váltóáram, ezt használják mindenhol, aminek segítségével az elektromosságot továbbítják, váltakozó áram formájában, amelyet előállítanak, alakítanak át transzformátorok és terhelések fogyasztják. A szinuszos áram periodikusan változik egy szinuszos (harmonikus) törvény szerint.

Az áram és a feszültség effektív értékei kisebbek, mint a kétszeres gyök amplitúdóértékei:

A komplex módszerben az áramok és feszültségek effektív értékeit a következőképpen írják fel:

Vegye figyelembe, hogy az elektrotechnikában a képzeletbeli egységet «j» betűvel jelölik, mivel itt már az «i» betűt használják az áram jelölésére.

Tól től Ohm törvénye meghatározza az ellenállás komplex értékét:

Az összetett értékek összeadása és kivonása algebrai formában, a szorzás és osztás pedig exponenciális formában történik.

Tekintsük a komplex amplitúdók módszerét egy adott áramkör példáján, a fő paraméterek bizonyos értékeivel.

Példa egy feladat megoldására komplex számok használatával

Adott:

• tekercs feszültség 50 V,

• ellenállás ellenállása 25 Ohm,

• tekercs induktivitása 500 mH,

• a kondenzátor elektromos kapacitása 30 mikrofarad,

• tekercs ellenállás 10 ohm,

• hálózati frekvencia 50 Hz.

Keresse meg: ampermérő és voltmérő állását, valamint wattmérőt.

Válasz:

Kezdésként felírjuk a sorba kapcsolt elemek komplex ellenállását, amely valós és képzeletbeli részekből áll, majd megkeressük egy aktív-induktív elem komplex ellenállását.

Emlékezés! Az exponenciális alak megszerzéséhez keressük meg a z modulust, amely egyenlő a valós és a képzetes rész négyzetösszegének négyzetgyökével, és a phi egyenlő a képzeletbeli rész és a valós résszel osztott hányadosának arctangensével.

Ezután megtaláljuk az áramerősséget és ennek megfelelően az ampermérő leolvasását:

Tehát az ampermérő 0,317 A áramot mutat – ez az áram a teljes soros áramkörön keresztül.

Most megkeressük a kondenzátor kapacitív ellenállását, majd meghatározzuk a komplex ellenállását:

Ezután kiszámítjuk ennek az áramkörnek a teljes komplex impedanciáját:

Most megtaláljuk az áramkörre alkalmazott effektív feszültséget:

A voltmérő 19,5 V effektív feszültséget mutat.

Végül megtaláljuk a teljesítményt, amelyet a wattmérő megjelenít, figyelembe véve az áram és a feszültség közötti fáziskülönbséget

A wattmérő 3,51 wattot fog mutatni.

Most már megérti, milyen fontosak a komplex számok az elektrotechnikában. Ezeket az elektromos áramkörök kényelmes kiszámítására használják. Sok elektronikus mérőeszköz ugyanezen az alapon működik.