Az érintkezési áramkörök algebra törvényei, Boole-algebra

A relé áramkörök felépítésének és működési feltételeinek analitikus rögzítése lehetővé teszi az áramkörök analitikai ekvivalens transzformációinak végrehajtását, vagyis szerkezeti képletek átalakításával, működésükben hasonló sémák felkutatásával. Az átalakítási módszereket különösen az érintkezési áramköröket kifejező szerkezeti képletek számára fejlesztették ki.

Az érintkezési áramkörökhöz a logikai algebra matematikai apparátusát alkalmazzák, pontosabban annak egyik legegyszerűbb változatát, az úgynevezett propozíciószámítást vagy Boole-algebrát (a múlt századi matematikus, J. Boole nyomán).

A propozíciószámítást eredetileg a függőség tanulmányozására fejlesztették ki (az összetett ítéletek igazsága vagy hamissága az őket alkotó egyszerű állítások igazságáról vagy hamisságáról. A propozíciószámítás lényegében két szám algebra, azaz egy amely minden egyes argumentumnak és függvénynek két értéke lehet.

Ez meghatározza annak lehetőségét, hogy a Boole-algebra használható-e érintkezőáramkörök átalakítására, mivel a szerkezeti képletben szereplő argumentumok (érintkezők) mindegyike csak két értéket vehet fel, azaz lehet zárt vagy nyitott, és a teljes függvényt a szerkezeti képlet képviseli. a képlet zárt vagy nyitott hurkot is kifejezhet.

A Boole-algebra bemutatja:

1) objektumok, amelyeknek a közönséges algebrához hasonlóan neve van: független változók és függvények – azonban a közönséges algebrától eltérően a Boole-algebrában mindkettő csak két értéket vehet fel: 0 és 1;

2) alapvető logikai műveletek:

• logikai összeadás (vagy diszjunkció, logikai VAGY, amelyet ? jellel jelölünk), melynek meghatározása a következő: a művelet eredménye akkor és csak akkor 0, ha a művelet összes argumentuma 0, ellenkező esetben az eredmény 1;

• logikai szorzás (vagy összefűzés, logikai ÉS, ?-vel jelölve, vagy egyáltalán nincs megadva), amely a következőképpen definiálható: a művelet eredménye akkor és csak akkor 1, ha a művelet összes argumentuma egyenlő 1-gyel, ellenkező esetben az eredmény értéke 0;

• tagadás (vagy fordítva, logikai NEM, az argumentum feletti sáv jelzi), amely a következőképpen definiálható: a művelet eredménye az argumentum ellentétes értékű;

3) axiómák (a Boole-algebra törvényei), amelyek meghatározzák a logikai kifejezések átalakításának szabályait.

Vegye figyelembe, hogy a logikai műveletek mindegyike végrehajtható változókon és függvényeken is, amelyeket alább Boole-függvényeknek nevezünk... Emlékezzünk vissza, hogy a közönséges algebrával analóg módon a Boole-algebrában a logikai szorzás művelete elsőbbséget élvez a logikaival szemben. összeadási művelet.

A logikai kifejezések számos objektumon (változón vagy függvényen) végzett logikai műveletek kombinálásával jönnek létre, amelyeket a művelet argumentumainak neveznek.

A logikai kifejezések Boole-algebra törvényei alapján történő átalakítása általában a minimalizálás céljával történik, mivel minél egyszerűbb a kifejezés, annál kisebb a logikai lánc összetettsége, amely a logikai kifejezés technikai megvalósítása.

A Boole-algebra törvényeit axiómák és következmények halmazaként mutatjuk be. Ezek egyszerűen ellenőrizhetők a változók különböző értékeinek helyettesítésével.

A Boole-függvény bármely logikai kifejezésének technikai analógja egy logikai diagram... Ebben az esetben a Boole-függvények változói ennek az áramkörnek a külső bemeneteire vannak kötve, a Boole-függvény értéke a az áramkör külső kimenete, és egy logikai kifejezésben minden logikai műveletet egy logikai elem valósít meg.

Így a logikai áramkör kimenetén minden bemeneti jelkészlethez egy olyan jel jön létre, amely megfelel ezen változókészlet logikai függvényének (a továbbiakban a következő konvenciót használjuk: 0 – alacsony jelszint , 1 — magas jelszint).

A logikai áramkörök felépítésénél feltételezzük, hogy a változókat parafázisú kódban tápláljuk be a bemenetre (vagyis a változók közvetlen és inverz értékei is rendelkezésre állnak).

Az 1. táblázat néhány logikai elem hagyományos grafikus jelölését mutatja a GOST 2.743-91 szerint, valamint külföldi megfelelőit.

A Boole-algebra három műveletét (ÉS, VAGY, NEM) végrehajtó elemek mellett a tab. Az 1 azokat az elemeket mutatja, amelyek a főből származó műveleteket hajtják végre:

— ÉS -NEM — a logikai szorzás tagadása, más néven Schaefer-mozgás (jelölése |)

— VAGY -NEM — a logikai komplementer tagadása, más néven Peirce nyila (jellel ?)

A logikai kapuk soros összekapcsolásával bármilyen logikai függvényt megvalósíthat.

A relé áramköröket általában kifejező szerkezeti képletek, amelyek a reagáló sasok szimbólumait tartalmazzák, nem tekinthetők két érték függvényének, amelyek csak zárt vagy nyitott áramkört fejeznek ki. Ezért, amikor ilyen függvényekkel dolgozunk, számos új függőség merül fel, amelyek túlmutatnak a Boole-algebra határain.

A Boole-algebrában négy alaptörvénypár létezik: két eltolás, két kombinatorikus, két disztributív és két jogi inverzió. Ezek a törvények a különböző kifejezések ekvivalenciáját határozzák meg, vagyis úgy tekintenek egymásra helyettesíthető kifejezésekre, mint az azonosságok helyettesítésére a közönséges algebrában. Ekvivalencia szimbólumnak azt a szimbólumot vesszük, amely megegyezik a közönséges algebra egyenlőségjelével (=).

A Boole-algebra érintkezőáramkörökre vonatkozó törvényeinek érvényességét az ekvivalens kifejezések bal és jobb oldalának megfelelő áramkörök figyelembevételével állapítjuk meg.

Utazási törvények

Összeadás: x + y = y + x

Az ezeknek a kifejezéseknek megfelelő vázlatok az ábrán láthatók. 1, a.

A bal és a jobb oldali áramkörök általában nyitott áramkörök, amelyek mindegyike bezárul, ha valamelyik elem (X vagy Y) kiold, vagyis ezek az áramkörök egyenértékűek. Szorzáshoz: x ·y = y ·NS.

Az ezeknek a kifejezéseknek megfelelő vázlatok az ábrán láthatók. Az 1b. ábrán ezek egyenértékűsége is nyilvánvaló.

Rizs. 1

A kombináció törvényei

Összeadáshoz: (x + y) + z = x + (y + z)

Szorzáshoz: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Az ezeknek a kifejezéseknek megfelelő ekvivalens áramkörök párjait az ábra mutatja. 2, a, b

Rizs. 2

Elosztási törvények

Szorzás versus összeadás: (x + y) +z = x + (y + z)

Összeadás vs szorzás. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Az ezeknek a kifejezéseknek megfelelő vázlatok az ábrán láthatók. 3, a, b.

Rizs. 3.

Ezen sémák egyenértékűsége könnyen ellenőrizhető az érintkező működtetés különböző kombinációinak figyelembevételével.

Az inverzió törvényei

Összeadáskor: NS + c = NS·c

A kifejezés bal oldala feletti sáv tagadás vagy inverzió jel. Ez a jel azt jelzi, hogy az egész függvénynek ellentétes jelentése van a tagadójel alatti kifejezéshez képest. A teljes inverz függvénynek megfelelő diagramot nem lehet rajzolni, de a negatív előjel alatti kifejezésnek megfelelő diagramot rajzolhatunk. Így a képlet az ábrán látható diagramokkal szemléltethető. 4, a.

Rizs. 4.

A bal oldali diagram az x + y kifejezésnek, a jobb oldali pedig az NS ·c kifejezésnek felel meg

Ez a két áramkör működésben egymással ellentétes, nevezetesen: ha a bal oldali áramkör az X, Y gerjesztetlen elemekkel nyitott áramkör, akkor a jobb oldali áramkör zárt. Ha a bal oldali áramkörben az egyik elem kioldásakor az áramkör bezárul, a jobb oldali áramkörben pedig éppen ellenkezőleg, kinyílik.

Mivel a negatív előjel definíciója szerint az x + y függvény az x + y függvény inverze, akkor nyilvánvaló, hogy x + y = NS·in.

A szorzásra vonatkozóan: NS · c = NS + c

A megfelelő sémák az ábrán láthatók. 4, b.

A transzlokatív és kombinációs törvények és a szorzás eloszlási törvényei az összeadásra vonatkozóan (a közönséges algebra hasonló törvényeinek felelnek meg).Ezért a szerkezeti képletek tagok összeadási és szorzási sorrendjében történő átalakítása, a kifejezések zárójelen kívüli elhelyezése és a zárójelek kiterjesztése esetén követheti a közönséges algebrai kifejezésekkel való munkavégzésre megállapított szabályokat. Az összeadás eloszlási törvénye a szorzás és az inverzió törvényei a Boole-algebrára jellemzőek.