A logika algebra alapjai és törvényei

A 19. század közepének ír matematikusa George Bull kidolgozta a logika algebráját ("A gondolkodás törvényeinek tanulmányozása"). Ezért nevezik a logika algebráját is logikai algebra.

A betűjelölések megadásával, a logikai transzformációk műveleteinek cselekvésszimbólumokban való kifejezésével, valamint az ezekre a cselekvésekre megállapított szabályok és axiómák felhasználásával a logikai algebra lehetővé teszi, hogy az állításlogikailag adott probléma megoldásában az érvelési folyamatot algoritmusokban leírjuk teljes mértékben. , vagyis hogy legyen egy matematikailag megírt program, amely megoldja ezt a problémát.

Az állítások igazságának vagy hamisságának jelölésére (vagyis az állítások értékelésére szolgáló értékek bevezetésére) a logikai algebra bináris rendszert használ, amely ebben az esetben kényelmes. Ha az állítás igaz, akkor 1-et vesz fel, ha hamis, akkor 0-t. A bináris számokkal ellentétben a logikai 1-ek és 0-k nem mennyiséget, hanem állapotot fejeznek ki.

Tehát a Boole-algebra segítségével leírt elektromos áramkörökben, ahol 1 a feszültség jelenléte és 0 a hiánya, több forrásból származó feszültség ellátása az áramkör egy csomópontjához (vagyis több logikai egység érkezése) logikai egységként is megjelenik, amely nem a csomópont teljes feszültségét jelzi, hanem csak annak jelenlétét.

A logikai áramkörök bemeneti és kimeneti jeleinek leírásánál olyan változókat használunk, amelyek csak logikai 0 vagy 1 értéket vesznek fel. Meghatározzuk a kimeneti jelek bemenettől való függőségét. logikai művelet (függvény)… Jelöljük a bemeneti változókat X1-gyel és X2-vel, a rajtuk végzett logikai művelettel kapott kimenetet pedig y-vel.

Gondold át három alapvető elemi logikai művelet, amelyek segítségével egyre összetettebbek írhatók le.

1. VAGY művelet – logikai összeadás:

A változók összes lehetséges értékét figyelembe véve az OR műveletet úgy definiálhatjuk, hogy a bemenetben legalább egy egység elegendő ahhoz, hogy a kimenetben egy egység keletkezzen. A művelet nevét az OR unió szemantikai jelentése magyarázza a következő mondatban: "Ha az OR az egyik bemenet VAGY a második egy, akkor a kimenet egy."

2. ÉS művelet – logikai szorzás:

Ha figyelembe vesszük a változók teljes értékkészletét, az ÉS műveletet úgy határozzuk meg, hogy az összes bemeneten lévő értéket össze kell egyeztetni, hogy egyet kapjunk a kimeneten: „Ha az ÉS az egyik bemenet, a második pedig egyesek, akkor a kimenet egy. «

3. NEM művelet – logikai negáció vagy inverzió. Ezt egy sáv jelzi a változó felett.

Megfordításkor a változó értéke megfordul.

A logikai algebra alaptörvényei:

1. A nulla halmaz törvénye: tetszőleges számú változó szorzata eltűnik, ha bármelyik változó nulla, függetlenül a többi változó értékétől:

2. Az egyetemes halmaz törvénye — tetszőleges számú változó összege egy lesz, ha a változók közül legalább az egyik értéke egy, a többi változótól függetlenül:

3. Az ismétlés törvénye — a kifejezésben szereplő ismétlődő változók elhagyhatók (vagyis a Boole-algebrában nincs hatványozás és numerikus együtthatóval való szorzás):

4. A kettős inverzió törvénye — a kétszer végrehajtott inverzió üres művelet:

5. A komplementaritás törvénye — minden változó és inverze szorzata nulla:

6. Minden változó és reciprok összege egy:

7. Védelmi törvények — a szorzási és összeadási műveletek eredménye nem függ attól, hogy a változók milyen sorrendben következnek:

8. Összevont törvények — a szorzási és összeadási műveletek során a változók tetszőleges sorrendben csoportosíthatók:

9. Elosztási törvények — megengedett a teljes együttható a zárójeleken kívülre tenni:

10. Az abszorpció törvényei — jelölje meg az összes tényezőben és kifejezésben változót tartalmazó kifejezések egyszerűsítésének módjait:

11. De Morgan törvényei — a szorzat inverziója a változók inverzióinak összege:

az összeg inverziója a változók inverzióinak szorzata: