Kirchhoff törvényei – képletek és használati példák

Kirchhoff törvényei meghatározzák az áramok és a feszültségek közötti kapcsolatot bármilyen típusú elágazó elektromos áramkörben. A Kirchhoff-törvények sokoldalúságuk miatt különösen fontosak az elektrotechnikában, mivel bármilyen elektromos probléma megoldására alkalmasak. A Kirchhoff-törvények lineáris és nemlineáris áramkörökre érvényesek állandó és váltakozó feszültség és áram mellett.

Kirchhoff első törvénye a töltésmegmaradás törvényéből következik. Abból áll, hogy az egyes csomópontokban konvergáló áramok algebrai összege nulla.

ahol az adott csomóponton egyesülő áramok száma. Például egy elektromos áramkör csomópontjára (1. ábra) a Kirchhoff első törvénye szerinti egyenlet I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0 alakban írható fel.

Rizs. 1

Ebben az egyenletben a csomópontba irányított áramok pozitívak.

A fizikában Kirchhoff első törvénye az elektromos áram folytonosságának törvénye.

Kirchhoff második törvénye: a zárt áramkör egyes szakaszaiban a feszültségesés algebrai összege, egy összetett elágazó áramkörben tetszőlegesen megválasztva megegyezik az EMF algebrai összegével ebben az áramkörben

ahol k az EMF-források száma; m- a zárt hurok ágainak száma; Ii, Ri- ennek az ágnak az árama és ellenállása.

Rizs. 2

Tehát zárt hurkú áramkör esetén (2. ábra) E1 — E2 + E3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Megjegyzés a kapott egyenlet jeleihez:

1) Az EMF pozitív, ha iránya egybeesik a tetszőlegesen kiválasztott áramköri kiiktatás irányával;

2) az ellenállás feszültségesése pozitív, ha a benne lévő áram iránya egybeesik a bypass irányával.

Fizikailag Kirchhoff második törvénye jellemzi a feszültségek egyensúlyát az áramkör egyes áramköreiben.

Elágazóáramkör-számítás Kirchhoff-törvények segítségével

A Kirchhoff-törvény módszere egy Kirchhoff első és második törvénye szerint összeállított egyenletrendszer megoldásából áll.

A módszer abból áll, hogy Kirchhoff első és második törvénye szerint egyenleteket állítunk össze az elektromos áramkör csomópontjaira és áramköreire, és ezeket az egyenleteket megoldjuk, hogy meghatározzuk az ágak ismeretlen áramait és ezek szerint a feszültségeket. Ezért az ismeretlenek száma megegyezik az ágak számával, tehát ugyanannyi független egyenletet kell felállítani Kirchhoff első és második törvénye szerint.

Az első törvény alapján alkotható egyenletek száma megegyezik a lánccsomópontok számával, és csak (y — 1) egyenletek függetlenek egymástól.

Az egyenletek függetlenségét a csomópontok megválasztása biztosítja. Általában a csomópontokat úgy választják ki, hogy minden következő csomópont legalább egy ágban különbözik a szomszédos csomópontoktól.A többi egyenletet Kirchhoff második törvénye szerint fogalmazzuk meg független áramkörökre, azaz. egyenletek száma b — (y — 1) = b — y +1.

Függetlennek nevezzük a hurkot, ha legalább egy olyan ágat tartalmaz, amely nem szerepel más hurokban.

Készítsünk Kirchhoff-egyenletrendszert elektromos áramkörre (3. ábra). A diagram négy csomópontot és hat ágat tartalmaz.

Ezért Kirchhoff első törvénye szerint y — 1 = 4 — 1 = 3 egyenletet, a második b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 egyenletet pedig szintén három egyenletet állítunk össze.

Véletlenszerűen választjuk ki az áramok pozitív irányait minden ágban (4. ábra). Kiválasztjuk a kontúrok áthaladásának irányát az óramutató járásával megegyezően.

Rizs. 3

Összeállítjuk a szükséges számú egyenletet Kirchhoff első és második törvénye szerint

Az így kapott egyenletrendszert az áramok függvényében oldjuk meg, ha a számítás során az ágban az áram mínusznak bizonyult, akkor annak iránya ellentétes a feltételezett iránnyal.

Potenciáldiagram – Ez a Kirchhoff-féle második törvény grafikus ábrázolása, amelyet a lineáris ellenállásáramkörök számításainak helyességének ellenőrzésére használnak. Egy áramforrás nélküli áramkörre egy potenciáldiagramot rajzolunk, és a diagram elején és végén lévő pontok potenciáljának azonosnak kell lennie.

Tekintsük az ábrán látható áramkör abcda hurkát. 4. Az R1 ellenállás és az EMF E1 közötti ab ágban egy további k pontot jelölünk.

Rizs. 4. Vázlat a potenciáldiagram felépítéséhez

Az egyes csomópontok potenciálját nullának tételezzük fel (például ? a =0), válasszuk ki a hurok bypass-t és határozzuk meg a hurokpontok potenciálját: ? a = 0,? k = ? a — I1R1, ?b =?k + E1 ,? c =?b — I2R2, ?d =? c -E2 ,?a =? d + I3R3 = 0

A potenciáldiagram készítésénél figyelembe kell venni, hogy az EMF ellenállás nulla (5. ábra).

Rizs. 5. Potenciáldiagram

Kirchhoff törvényei összetett formában

A szinuszos áramkörök esetében a Kirchhoff-törvények ugyanúgy vannak megfogalmazva, mint az egyenáramú áramkörök esetében, de csak az áramok és feszültségek komplex értékeire.

Kirchhoff első törvénye: "Az áramkör csomópontjában lévő áram komplexeinek algebrai összege nulla."

Kirchhoff második törvénye: "Egy elektromos áramkör bármely zárt áramkörében a komplex EMF algebrai összege egyenlő az áramkör összes passzív elemén lévő összetett feszültségek algebrai összegével."