Szinuszos értékek grafikus ábrázolása

Bármely lineáris áramkörben, függetlenül az áramkörben lévő elemek típusától, a harmonikus feszültség harmonikus áramot hoz létre, és fordítva, a harmonikus áram ezen elemek kapcsain szintén harmonikus alakú feszültséget hoz létre. Megjegyzendő, hogy a tekercsek induktivitását és a kondenzátorok kapacitását is lineárisnak tételezzük fel.

Általánosabb esetben azt mondhatjuk, hogy a harmonikus hatású lineáris áramkörökben minden reakciónak van harmonikus formája is. Ezért minden lineáris áramkörben minden pillanatnyi feszültségnek és áramnak ugyanaz a harmonikus alakja. Ha az áramkör legalább néhány elemet tartalmaz, akkor sok szinuszos görbe van, ezek az idődiagramok átfedik egymást, nagyon nehéz leolvasni őket, és a vizsgálat rendkívül kényelmetlenné válik.

Ezen okokból kifolyólag a harmonikus hatású áramkörökben előforduló folyamatok tanulmányozása nem szinuszos görbék, hanem vektorok felhasználásával történik, amelyek hosszát a görbék maximális értékével arányosan veszik, és azokat a szögeket, amelyeknél a vektorok elhelyezve egyenlőek a két görbe origója vagy a görbe origója és az origó közötti szögekkel.Így a sok helyet elfoglaló idődiagramok helyett azok képei vektorok formájában jelennek meg, azaz egyenes vonalak, a végén nyilakkal, a feszültségvektorok nyilai pedig árnyékolva, az áramvektorok pedig árnyék nélkül maradnak.

Az áramkörben lévő feszültségek és áramok vektorainak halmazát ún vektor diagram… A vektordiagramokban a szögszámlálás szabálya a következő: ha a kiindulási helyzettől valamilyen szöggel lemaradt vektort kell mutatni, akkor forgassuk el a vektort az óramutató járásával megegyező irányban ezzel a szöggel. Az óramutató járásával ellentétes irányban elforgatott vektor a megadott szöggel való előrehaladást jelenti.

Például az 1. ábra diagramján. Az 1. ábrán három azonos amplitúdójú, de eltérő kezdeti fázisú idődiagram látható... Ezért az ezeknek a harmonikus feszültségeknek megfelelő vektorok hosszának azonosnak kell lennie, és a szögeknek eltérőnek kell lenniük. Rajzoljunk egymásra merőleges koordinátatengelyeket, kezdjük a pozitív értékekkel rendelkező vízszintes tengelyt, ebben az esetben az első feszültség vektorának egybe kell esnie a vízszintes tengely pozitív részével, a második feszültség vektorát az óramutató járásával megegyező irányba kell elforgatni ψ2 szöggel, és a harmadik feszültségvektornak az óramutató járásával ellentétesnek kell lennie. szögben álló nyilak (1. ábra).

A vektorok hossza a választott léptéktől függ, esetenként az arányoknak megfelelően tetszőleges hosszúsággal rajzolódnak ki. Mivel az összes harmonikus mennyiség maximális és effektív értéke mindig ugyanannyiszor különbözik (√2 = 1,41), így a maximum és az effektív értékek vektordiagramokon ábrázolhatók.

Az időzítési diagram a harmonikus függvény értékét mutatja bármikor a ti = Um sin ωt egyenlet szerint. A vektordiagram bármikor megjelenítheti az értékeket. Ehhez az óramutató járásával ellentétes irányban forgó vektort ω szögsebességgel kell ábrázolni, és ennek a vektornak a vetületét a függőleges tengelyre kell venni. A kapott vetületi hosszok a ti = Um sinωt törvénynek engedelmeskednek, és ezért ugyanazon a skálán pillanatnyi értékeket képviselnek. A vektor óramutató járásával ellentétes forgásirányát pozitívnak, az óramutató járásával megegyező irányban pedig negatívnak tekintjük.

Ábra. 1

Ábra. 2

Ábra. 3

Vegyünk egy példát a pillanatnyi feszültségértékek vektordiagram segítségével történő meghatározására. ábra jobb oldalán. A 2. ábra egy idődiagramot, a bal oldalon pedig egy vektordiagramot mutat. Legyen a kezdeti fázisszög nulla. Ebben az esetben a t = 0 pillanatban a feszültség pillanatnyi értéke nulla, és ennek az idődiagramnak megfelelő vektor egybeesik az abszcissza tengely pozitív irányával, ennek a vektornak a függőleges tengelyre vetülete ebben a pillanatban szintén nulla, t .is a vetítés hossza megegyezik a szinuszhullám pillanatnyi értékével.

A t = T / 8 idő letelte után a fázisszög 45 ° lesz, és a pillanatnyi érték Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. De ez idő alatt a sugárvektor is 45°-os szögben elfordul, és ennek a vektornak a vetülete is 0,707 Um lesz. A t = T / 4 után a görbe pillanatnyi értéke eléri az U-t, de a sugárvektor is elfordul 90 ° -kal. A függőleges tengely vetülete ezen a ponton egyenlő lesz magával a vektorral, amelynek hossza arányos a maximális értékkel.Hasonlóképpen, bármikor meghatározhatja az aktuális értékeket.

Így minden olyan művelet, amelyet valamilyen módon szinuszos görbékkel kell végrehajtani, olyan műveletekre redukálódik, amelyeket nem magukkal a szinuszokkal hajtanak végre, hanem azok képeivel, vagyis a megfelelő vektorokkal. Például van egy áramkör a 3. ábrán. 3, a, amelyben meg kell határozni a pillanatnyi feszültségértékek ekvivalens görbéjét. Egy általánosított görbe grafikus felépítéséhez nagyon nehézkes műveletet kell végrehajtani két, pontokkal kitöltött görbe grafikus összeadásával (3. ábra, b). Két szinusz analitikus hozzáadásához meg kell találni az ekvivalens szinusz maximális értékét:

és a kezdeti fázis

(Ebben a példában az Um eq értéke 22,36, és ψek = 33 °.) Mindkét képlet nehézkes, rendkívül kényelmetlen a számításokhoz, ezért a gyakorlatban ritkán használják őket.

Helyettesítsük most a temporális szinuszokat képeikkel, vagyis vektorokkal. Válasszunk ki egy léptéket, és tegyük félre az Um1 vektort, amely 30-al elmarad a koordináták origójától, és az Um2 vektort, amelynek hossza kétszerese az Um1 vektornak, és 60 ° -kal előrébb viszi a koordináták origóját (ábra 3, c) . Az ilyen csere utáni rajz jelentősen leegyszerűsödik, de minden számítási képlet változatlan marad, mivel a szinuszos mennyiségek vektorképe nem változtat a dolog lényegén: csak a rajz egyszerűsödik, de a benne lévő matematikai összefüggések nem (egyébként az idődiagramok vektorral való helyettesítése illegális lenne.)

Így a harmonikus mennyiségek vektoros ábrázolásaikkal való helyettesítése továbbra sem könnyíti meg a számítási technikát, ha ezeket a számításokat a ferde háromszögek törvényei szerint kell elvégezni. A vektormennyiségek számítási technológiájának drasztikus egyszerűsítése érdekében szimbolikus számítási módszer.