Egy vektormező áramlása és keringése

N Richard Feynman előadási anyagai alapján

Amikor az elektromosság törvényeit vektormezőkkel írjuk le, a vektortér két matematikailag fontos jellemzőjével állunk szemben: a fluxussal és a keringéssel. Jó lenne megérteni, mik ezek a matematikai fogalmak, és mi a gyakorlati jelentésük.

A kérdés második részére könnyű azonnal válaszolni, mert az áramlás és a keringés fogalma áll a középpontjában Maxwell-egyenletek, amelyen tulajdonképpen minden modern elektrodinamika nyugszik.

Tehát például az elektromágneses indukció törvénye a következőképpen fogalmazható meg: az E elektromos tér keringése egy zárt C hurok mentén egyenlő a B mágneses tér fluxusának változási sebességével az általa határolt S felületen keresztül. B hurok.

A következőkben egészen egyszerűen, világos folyékony példák segítségével leírjuk, hogyan határozzák meg matematikailag a térjellemzőket, amelyekből ezeket a terepi jellemzőket veszik és kapják.

Vektor mező fluxus

Kezdésként rajzoljunk egy teljesen tetszőleges alakú zárt felületet a vizsgált terület köré. Ennek a felületnek az ábrázolása után kérdezzük meg, hogy átfolyik-e ezen a zárt felületen a vizsgált tárgy, amit mezőnek nevezünk. Hogy megértsük, miről van szó, vegyünk egy egyszerű folyékony példát.

Tegyük fel, hogy egy bizonyos folyadék sebességmezőjét vizsgáljuk. Egy ilyen példánál célszerű feltenni a kérdést: egységnyi idő alatt több folyadék halad át ezen a felületen, mint amennyi a felület által határolt térfogatba áramlik? Más szóval, a kiáramlási sebesség mindig elsősorban belülről kifelé irányul?

A "vektormező fluxus" kifejezéssel (és példánkban a "fluid speed fluxus" kifejezés pontosabb lesz) megegyezünk abban, hogy megnevezzük a képzeletbeli folyadék teljes mennyiségét, amely átáramlik a vizsgált térfogat által határolt felületen. zárt felület (a folyadék áramlási sebességére, hogy egységnyi idő alatt mennyi folyadék következik a térfogatból).

Ennek eredményeként a felületi elemen áthaladó fluxus egyenlő lesz a felületi elem területének szorzatával a sebesség merőleges összetevőjével. Ekkor a teljes (teljes) fluxus a teljes felületen egyenlő lesz a sebesség átlagos normálkomponensének szorzatával, amelyet belülről kifelé számítunk, a teljes felülettel.

Most térjünk vissza az elektromos térhez. Az elektromos tér természetesen nem tekinthető valamilyen folyadék áramlási sebességének, de jogunk van bevezetni az áramlás matematikai fogalmát, hasonlóan ahhoz, amit fentebb a folyadék sebességének áramlásaként írtunk le.

Csak elektromos tér esetén határozható meg a fluxusa az E elektromos térerősség átlagos normálkomponensével. Ráadásul az elektromos tér fluxusa nem feltétlenül zárt felületen, hanem tetszőleges korlátos felületen keresztül határozható meg. nem nulla területű S .

Egy vektormező cirkulációja

Mindenki számára jól ismert, hogy a nagyobb áttekinthetőség kedvéért a mezők úgynevezett erővonalak formájában ábrázolhatók, amelyek minden pontjában az érintő iránya egybeesik a térerősség irányával.

Térjünk vissza a folyadék analógiájához, és képzeljük el a folyadék sebességmezőjét Tegyük fel magunknak a kérdést: kering-e a folyadék? Vagyis elsősorban valamilyen képzeletbeli zárt hurok irányába mozog?

A jobb áttekinthetőség kedvéért képzeljük el, hogy a folyadék egy nagy tartályban valahogy mozog (A ábra), és hirtelen majdnem az egész térfogatát lefagyasztottuk, de sikerült a térfogatot fagyás nélkül hagyni egy egyenletesen zárt cső formájában, amelyben nincs a folyadék súrlódása a falakon (b. ábra).

A csövön kívül a folyadék jéggé alakult, ezért már nem tud mozogni, de a csövön belül a folyadék folytatni tudja a mozgását, feltéve, hogy van egy uralkodó lendület, amely például az óramutató járásával megegyező irányba hajtja (ábra). . °C). Ekkor a csőben lévő folyadéksebesség és a cső hosszának szorzatát folyadéksebesség-cirkulációnak nevezzük.

Hasonlóképpen definiálhatunk cirkulációt egy vektormezőre, bár a mezőről megint csak nem mondható el semminek a sebessége, mégis meghatározhatjuk a kontúr mentén történő "keringés" matematikai jellemzőjét.

Tehát egy vektormező cirkulációja egy képzeletbeli zárt hurok mentén a vektor hurok áthaladásának irányában mért átlagos tangenciális komponensének szorzataként határozható meg – a hurok hosszával.