Szimbolikus módszer az AC áramkörök kiszámítására

A vektormennyiségekkel végzett műveletek szimbolikus módszere egy nagyon egyszerű elgondoláson alapul: minden vektor két komponensre bomlik: az egyik vízszintes, amely az abszcissza mentén halad, és a második, függőleges, amely az ordináta mentén halad. Ebben az esetben az összes vízszintes komponens egy egyenes vonalat követ, és egyszerű algebrai összeadással összeadható, a függőleges komponensek pedig ugyanúgy összeadódnak.

Ez a megközelítés általában két eredő összetevőt eredményez, egy vízszintes és egy függőleges, amelyek mindig azonos 90°-os szögben szomszédosak egymással.

Ezek a komponensek felhasználhatók az eredmény megtalálására, azaz geometriai összeadásra. A derékszögű komponensek egy derékszögű háromszög szárait, geometriai összegük pedig a befogót.

Mondhatjuk úgy is, hogy a geometriai összeg számszerűen egyenlő egy paralelogramma átlójával, amely az összetevőkre, valamint az oldalaira épült... Ha a vízszintes komponenst AG-val, a függőleges komponenst AB-vel jelöljük, akkor a geometriai összeget ( 1)

A derékszögű háromszögek geometriai összegét sokkal könnyebb megtalálni, mint a ferde háromszögeket. Könnyen belátható, hogy (2)

(1) lesz, ha az alkatrészek közötti szög 90°. Mivel cos 90 = 0, a (2) gyökkifejezés utolsó tagja eltűnik, aminek következtében a kifejezés nagymértékben leegyszerűsödik. Vegye figyelembe, hogy az „összeg” szó elé a három szó egyikét kell hozzáadni: „aritmetikai”, „algebrai”, „geometriai”.

Ábra. 1.

Az „összeg” szó, annak meghatározása nélkül, hogy melyik vezet bizonytalansághoz és bizonyos esetekben durva hibákhoz.

Emlékezzünk vissza, hogy a kapott vektor egyenlő a vektorok számtani összegével abban az esetben, ha az összes vektor egy egyenes mentén (vagy egymással párhuzamosan) ugyanabban az irányban halad. Ezenkívül minden vektornak van plusz jele (1. ábra, a).

Ha a vektorok egy egyenes mentén haladnak, de ellentétes irányba mutatnak, akkor eredményük megegyezik a vektorok algebrai összegével, amely esetben egyes tagok plusz, mások mínusz jelűek.

Például az 1. ábra diagramján. 1, b U6 = U4 — U5. Azt is mondhatjuk, hogy az aritmetikai összeget olyan esetekben használjuk, amikor a vektorok közötti szög nulla, algebrai, ha a szögek 0 és 180 °. Minden más esetben az összeadást vektoriálisan hajtjuk végre, vagyis meghatározzuk a geometriai összeget (1. ábra c).

Példa... Határozza meg az ekvivalens szinuszhullám paramétereit az áramkörhöz Fig. 2, de szimbolikus.

Válasz. Rajzoljunk Um1 Um2 vektorokat és bontsuk komponensekre. A rajzon látható, hogy minden vízszintes komponens a vektorérték szorozva a fázisszög koszinuszával, a függőleges pedig a vektorérték szorozva a fázisszög szinuszával. Akkor

Ábra. 2.

Nyilvánvaló, hogy az összes vízszintes és függőleges komponens megegyezik a megfelelő komponensek algebrai összegével. Akkor

A kapott komponenseket a ábra mutatja. 2, b. Határozza meg ehhez az Um értékét, számítsa ki a két komponens geometriai összegét:

Határozzuk meg a ψeq egyenértékű fázisszöget! Ábra. A 2, b ábrán látható, hogy a függőleges és a vízszintes komponens aránya az egyenértékű fázisszög érintője.

ahol

Az így kapott szinusz amplitúdója 22,4 V, a kezdeti fázis 33,5 °, és az összetevők időtartama megegyezik. Megjegyzendő, hogy csak azonos frekvenciájú szinuszhullámok adhatók hozzá, mert különböző frekvenciájú szinuszgörbék összeadásakor a kapott görbe megszűnik szinuszos lenni, és ebben az esetben minden, csak a harmonikus jelre vonatkozó fogalom érvénytelenné válik.

Nézzük meg még egyszer a transzformációk teljes láncolatát, amelyeket a harmonikus hullámformák matematikai leírásával különböző számítások végzésekor végre kell hajtani.

Először az időbeli függvényeket vektorképekkel helyettesítjük, majd mindegyik vektort két egymásra merőleges komponensre bontjuk, majd külön számítjuk ki a vízszintes és a függőleges komponenst, végül meghatározzuk a kapott vektor értékeit és kezdeti fázisát.

Ezzel a számítási módszerrel szükségtelenné válik a szinuszos görbék grafikus összeadása (és bizonyos esetekben bonyolultabb műveletek végrehajtása, például szorzás, osztás, gyökök kivonása stb.), valamint a ferde háromszögek képleteivel történő számítások igénybevétele.

Meglehetősen körülményes azonban a művelet vízszintes és függőleges összetevőit külön-külön kiszámolni.Az ilyen számításoknál nagyon kényelmes egy ilyen matematikai berendezés, amellyel mindkét komponenst egyszerre kiszámíthatja.

Már a múlt század végén kidolgoztak egy olyan módszert, amely lehetővé teszi a kölcsönösen merőleges tengelyekre ábrázolt számok egyidejű számítását. A vízszintes tengelyen lévő számokat valósnak, a függőleges tengelyen lévő számokat képzeletnek neveztük. Ezeknek a számoknak a kiszámításakor a valós számokhoz ± 1-es tényezőt, a képzeletbeli számokhoz pedig ± j-t adunk (lásd "xi"). A valós és képzetes részekből álló számokat nevezzük összetett, a segítségükkel végzett számítások módszere pedig szimbolikus.

Magyarázzuk meg a „szimbolikus” kifejezést. A kiszámítandó függvények (ebben az esetben harmonikusok) az eredetiek, az eredetit helyettesítő kifejezések pedig képek vagy szimbólumok.

A szimbolikus módszer alkalmazásakor minden számítást nem magukra az eredetiekre, hanem azok szimbólumaira (képeire) hajtunk végre, amelyek esetünkben a megfelelő komplex számokat jelentik, mivel sokkal könnyebb a képeken műveleteket végrehajtani, mint magukon az eredetieken.

Az összes képművelet befejezése után az eredményül kapott képnek megfelelő eredetit rögzíti a képen. Az elektromos áramkörökben a legtöbb számítás szimbolikus módszerrel történik.